Leysa 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Leystu fyrir x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 40x^{2}+ax+bx+1. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er mínus eru a og b bæði mínus. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -14.

$$a=-10 b=-4$$

Endurskrifa 40x^{2}-14x+1 sem \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Taktu 10x út fyrir sviga í fyrsta hópi og -1 í öðrum hópi.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 4x-1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Leystu 4x-1=0 og 10x-1=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 40 inn fyrir a, -14 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Hefðu -14 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Leggðu 196 saman við -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Finndu kvaðratrót 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Gagnstæð tala tölunnar -14 er 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{14±6}{80} þegar ± er plús. Leggðu 14 saman við 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Minnka brotið \frac{20}{80} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{14±6}{80} þegar ± er mínus. Dragðu 6 frá 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Minnka brotið \frac{8}{80} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Að deila með 40 afturkallar margföldun með 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Minnka brotið \frac{-14}{40} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Deildu -\frac{7}{20}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{40}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{40} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{40} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Leggðu -\frac{1}{40} saman við \frac{49}{1600} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Stuðull x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Leggðu \frac{7}{40} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$