Leysa 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Settu \frac{5+y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Leggðu -y saman við 5y.

$$4y-5=7$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við \frac{3}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Til að gera 4x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Einfaldaðu.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Dragðu -16x+20y=28 frá -16x+4y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Leggðu -16x saman við 16x. Liðirnir -16x og 16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-20y=-20-28$$

Leggðu 4y saman við -20y.

$$-16y=-20-28$$

Leggðu -20 saman við -28.

$$-16y=-48$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í -4x+5y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+5\times 3=7$$

Margfaldaðu 5 sinnum 3.

$$-4x+15=7$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-8$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$