Leysa 4x-9y=12text{y}2x+6y=-1

$$4 x - 9 y = 12 \text { y } 2 x + 6 y = - 1$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-9y=12$$

Leggðu 9y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=9y+12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(9y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 9y+12.

$$x=\frac{9}{4}y+3$$

Settu \frac{9y}{4}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+6y=-1.

$$2\left(\frac{9}{4}y+3\right)+6y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{9y}{4}+3.

$$\frac{9}{2}y+6+6y=-1$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við 6y.

$$\frac{21}{2}y+6=-1$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{21}{2}y=-7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{21}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Skiptu -\frac{2}{3} út fyrir y í x=\frac{9}{4}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{9}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)+3$$

Margfaldaðu \frac{9}{4} sinnum -\frac{2}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Leggðu 3 saman við -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&-\frac{-9}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\\-\frac{1}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 12+\frac{3}{14}\left(-1\right)\\-\frac{1}{21}\times 12+\frac{2}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

Til að gera 4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4x+2\left(-9\right)y=2\times 12,4\times 2x+4\times 6y=4\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x-18y=24,8x+24y=-4$$

Dragðu 8x+24y=-4 frá 8x-18y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-18y-24y=24+4$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18y-24y=24+4$$

Leggðu -18y saman við -24y.

$$-42y=24+4$$

Leggðu 24 saman við 4.

$$-42y=28$$

Deildu báðum hliðum með -42.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Skiptu -\frac{2}{3} út fyrir y í 2x+6y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+6\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{2}{3}.

$$2x-4=-1$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$