Leysa 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Einfaldaðu.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Dragðu 4x+20y=-44 frá 4x-3y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-20y=2+44$$

Leggðu -3y saman við -20y.

$$-23y=2+44$$

Leggðu 2 saman við 44.

$$-23y=46$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x+5y=-11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2.

$$x-10=-11$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$