Leysa 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -7 inn fyrir b og -1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Hefðu -7 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Leggðu 49 saman við 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} þegar ± er plús. Leggðu 7 saman við \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{65} frá 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ef -1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Dragðu -1 frá 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Deildu -\frac{7}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{8}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við \frac{49}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Stuðull x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Leggðu \frac{7}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$