Leysa 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0.25+1.479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0.25-1.479019946i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -2 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Hefðu -2 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Leggðu 4 saman við -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} þegar ± er plús. Leggðu 2 saman við 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Deildu 2+2i\sqrt{35} með 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 2i\sqrt{35} frá 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Deildu 2-2i\sqrt{35} með 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Minnka brotið \frac{-2}{4} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Deildu -\frac{1}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Leggðu -\frac{9}{4} saman við \frac{1}{16} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Stuðull x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$