Leysa 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4.202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0.297437581$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -18 inn fyrir b og 5 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Hefðu -18 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Leggðu 324 saman við -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -18 er 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} þegar ± er plús. Leggðu 18 saman við 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Deildu 18+2\sqrt{61} með 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{61} frá 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Deildu 18-2\sqrt{61} með 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Ef 5 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Minnka brotið \frac{-18}{4} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Deildu -\frac{9}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{9}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{9}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{9}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Leggðu -\frac{5}{4} saman við \frac{81}{16} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Stuðull x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Leggðu \frac{9}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$