Leysa 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4.054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0.554886114$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-14x=9$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -14 inn fyrir b og -9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Hefðu -14 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Leggðu 196 saman við 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} þegar ± er plús. Leggðu 14 saman við 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Deildu 14+2\sqrt{85} með 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{85} frá 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Deildu 14-2\sqrt{85} með 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Minnka brotið \frac{-14}{4} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Deildu -\frac{7}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Leggðu \frac{9}{4} saman við \frac{49}{16} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Stuðull x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Leggðu \frac{7}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$