Leysa 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, 4 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Hefðu 4 í annað veldi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Leggðu 16 saman við -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} þegar ± er plús. Leggðu -4 saman við 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Deildu -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} með 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 8i\sqrt{2} frá -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Deildu -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} með 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Deildu 4 með 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Deildu 1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Leggðu -\frac{9}{4} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Stuðull x^{2}+x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$