Leysa 4x^2+3x+5=0

$$4 x ^ { 2 } + 3 x + 5 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0.375+1.053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0.375-1.053268722i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}+3x+5=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, 3 inn fyrir b og 5 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Hefðu 3 í annað veldi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\times 5}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-80}}{2\times 4}$$

Leggðu 9 saman við -80.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-71}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót -71.

$$x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{8} þegar ± er plús. Leggðu -3 saman við i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{8} þegar ± er mínus. Dragðu i\sqrt{71} frá -3.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x+5=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}+3x+5-5=-5$$

Ef 5 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}+3x=-5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Deildu \frac{3}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{3}{8}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{3}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{3}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

Leggðu -\frac{5}{4} saman við \frac{9}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

Stuðull x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

Dragðu \frac{3}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$