Leysa 4r^2+7r+9=0

$$4 r ^ { 2 } + 7 r + 9 = 0$$

Leystu fyrir r

$$r=\frac{-7+\sqrt{95}i}{8}\approx -0.875+1.218349293i$$

$$r=\frac{-\sqrt{95}i-7}{8}\approx -0.875-1.218349293i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4r^{2}+7r+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, 7 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Hefðu 7 í annað veldi.

$$r=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$r=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 9}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 9.

$$r=\frac{-7±\sqrt{49-144}}{2\times 4}$$

Leggðu 49 saman við -144.

$$r=\frac{-7±\sqrt{-95}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót -95.

$$r=\frac{-7±\sqrt{95}i}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$r=\frac{-7±\sqrt{95}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna r=\frac{-7±\sqrt{95}i}{8} þegar ± er plús. Leggðu -7 saman við i\sqrt{95}.

$$r=\frac{-7+\sqrt{95}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna r=\frac{-7±\sqrt{95}i}{8} þegar ± er mínus. Dragðu i\sqrt{95} frá -7.

$$r=\frac{-\sqrt{95}i-7}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$r=\frac{-7+\sqrt{95}i}{8} r=\frac{-\sqrt{95}i-7}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4r^{2}+7r+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4r^{2}+7r+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4r^{2}+7r=-9$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4r^{2}+7r}{4}=-\frac{9}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$r^{2}+\frac{7}{4}r=-\frac{9}{4}$$

Deildu \frac{7}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{7}{8}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{7}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$r^{2}+\frac{7}{4}r+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{7}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$r^{2}+\frac{7}{4}r+\frac{49}{64}=-\frac{9}{4}+\frac{49}{64}$$

Leggðu -\frac{9}{4} saman við \frac{49}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$r^{2}+\frac{7}{4}r+\frac{49}{64}=-\frac{95}{64}$$

Stuðull r^{2}+\frac{7}{4}r+\frac{49}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{95}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(r+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$r+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{95}i}{8} r+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{95}i}{8}$$

Dragðu \frac{7}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$r=\frac{-7+\sqrt{95}i}{8} r=\frac{-\sqrt{95}i-7}{8}$$