Leysa 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Leystu fyrir n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Dragðu 11 frá báðum hliðum.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 4n^{2}+an+bn-11. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -7.

$$a=-11 b=4$$

Endurskrifa 4n^{2}-7n-11 sem \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Taktun út fyrir sviga í 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Taktu sameiginlega liðinn 4n-11 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Leystu 4n-11=0 og n+1=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4n^{2}-7n=11$$

Dragðu 11 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Ef 11 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -7 inn fyrir b og -11 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Hefðu -7 í annað veldi.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Leggðu 49 saman við 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -7 er 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{7±15}{8} þegar ± er plús. Leggðu 7 saman við 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Minnka brotið \frac{22}{8} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{7±15}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 15 frá 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Deildu -8 með 8.

$$n=-1$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Deildu -\frac{7}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{8}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Leggðu \frac{11}{4} saman við \frac{49}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Stuðull n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Leggðu \frac{7}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$