Leysa 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 4x^{2}+ax+bx-15. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -4.

$$a=-10 b=6$$

Endurskrifa 4x^{2}-4x-15 sem \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Taktu 2x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 3 í öðrum hópi.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 2x-5 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Leystu 2x-5=0 og 2x+3=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -4 inn fyrir b og -15 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Hefðu -4 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Leggðu 16 saman við 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -4 er 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{4±16}{8} þegar ± er plús. Leggðu 4 saman við 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Minnka brotið \frac{20}{8} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{4±16}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 16 frá 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Minnka brotið \frac{-12}{8} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ef -15 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Dragðu -15 frá 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Deildu -4 með 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Deildu -1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Leggðu \frac{15}{4} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Stuðull x^{2}-x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$