Leysa 4x^2-4x+7=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}\approx 0.5+1.224744871i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}\approx 0.5-1.224744871i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -4 inn fyrir b og 7 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Hefðu -4 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\times 7}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-112}}{2\times 4}$$

Leggðu 16 saman við -112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-96}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -4 er 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8} þegar ± er plús. Leggðu 4 saman við 4i\sqrt{6}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{6}i}{8}$$

Deildu 4+4i\sqrt{6} með 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 4i\sqrt{6} frá 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i+4}{8}$$

Deildu 4-4i\sqrt{6} með 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}-4x+7-7=-7$$

Ef 7 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-4x=-7$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{7}{4}$$

Deildu -4 með 4.

$$x^{2}-x=-\frac{7}{4}$$

Deildu -1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-7+1}{4}$$

Leggðu -\frac{7}{4} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}$$

Stuðull x^{2}-x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{2}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{2}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}i}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$