Leysa 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 31 inn fyrir a, -3 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Hefðu -3 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Leggðu 9 saman við -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Finndu kvaðratrót -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Gagnstæð tala tölunnar -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} þegar ± er plús. Leggðu 3 saman við i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} þegar ± er mínus. Dragðu i\sqrt{115} frá 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Að deila með 31 afturkallar margföldun með 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Deildu -\frac{3}{31}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{3}{62}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{3}{62} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{3}{62} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Leggðu -\frac{1}{31} saman við \frac{9}{3844} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Stuðull x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Leggðu \frac{3}{62} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$