Leysa 31x^2-18x+9=0

$$31 x ^ { 2 } - 18 x + 9 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31}\approx 0.290322581+0.453911203i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}\approx 0.290322581-0.453911203i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$31x^{2}-18x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 31 inn fyrir a, -18 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 31\times 9}}{2\times 31}$$

Hefðu -18 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 31\times 9}}{2\times 31}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 31.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-124\times 9}}{2\times 31}$$

Margfaldaðu -124 sinnum 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-1116}}{2\times 31}$$

Leggðu 324 saman við -1116.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{-792}}{2\times 31}$$

Finndu kvaðratrót -792.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±6\sqrt{22}i}{2\times 31}$$

Gagnstæð tala tölunnar -18 er 18.

$$x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{2\times 31}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 31.

$$x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{62}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{62} þegar ± er plús. Leggðu 18 saman við 6i\sqrt{22}.

$$x=\frac{18+6\sqrt{22}i}{62}$$

Deildu 18+6i\sqrt{22} með 62.

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{62} þegar ± er mínus. Dragðu 6i\sqrt{22} frá 18.

$$x=\frac{-6\sqrt{22}i+18}{62}$$

Deildu 18-6i\sqrt{22} með 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-18x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$31x^{2}-18x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$31x^{2}-18x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 31.

$$\frac{31x^{2}-18x}{31}=-\frac{9}{31}$$

Að deila með 31 afturkallar margföldun með 31.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x=-\frac{9}{31}$$

Deildu -\frac{18}{31}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{9}{31}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{9}{31} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x+\left(-\frac{9}{31}\right)^{2}=-\frac{9}{31}+\left(-\frac{9}{31}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{9}{31} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x+\frac{81}{961}=-\frac{9}{31}+\frac{81}{961}$$

Leggðu -\frac{9}{31} saman við \frac{81}{961} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x+\frac{81}{961}=-\frac{198}{961}$$

Stuðull x^{2}-\frac{18}{31}x+\frac{81}{961}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{31}\right)^{2}=-\frac{198}{961}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{198}{961}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{9}{31}=\frac{3\sqrt{22}i}{31} x-\frac{9}{31}=-\frac{3\sqrt{22}i}{31}$$

Leggðu \frac{9}{31} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}$$