Leysa 3z^2+z-1=0

$$3 z ^ { 2 } + z - 1 = 0$$

Leystu fyrir z

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3z^{2}+z-1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, 1 inn fyrir b og -1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Hefðu 1 í annað veldi.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum -1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+12}}{2\times 3}$$

Leggðu 1 saman við 12.

$$z=\frac{-1±\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$z=\frac{-1±\sqrt{13}}{6}$$

Leystu nú jöfnuna z=\frac{-1±\sqrt{13}}{6} þegar ± er plús. Leggðu -1 saman við \sqrt{13}.

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Leystu nú jöfnuna z=\frac{-1±\sqrt{13}}{6} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{13} frá -1.

$$z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6} z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+z-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3z^{2}+z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ef -1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3z^{2}+z=-\left(-1\right)$$

Dragðu -1 frá 0.

$$3z^{2}+z=1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3z^{2}+z}{3}=\frac{1}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z=\frac{1}{3}$$

Deildu \frac{1}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{1}{6}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{1}{6} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{1}{6} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við \frac{1}{36} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Stuðull z^{2}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Einfaldaðu.

$$z+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} z+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Dragðu \frac{1}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6} z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$