Leysa 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=4$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{5y+4}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Leggðu 15y saman við -2y.

$$13y+12=7$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$13y=-5$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Skiptu -\frac{5}{13} út fyrir y í x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum -\frac{5}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við -\frac{25}{39} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{9}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Til að gera 3x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Einfaldaðu.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Dragðu 27x-6y=21 frá 27x-45y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Leggðu 27x saman við -27x. Liðirnir 27x og -27x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-45y+6y=36-21$$

Leggðu -45y saman við 6y.

$$-39y=36-21$$

Leggðu 36 saman við -21.

$$-39y=15$$

Deildu báðum hliðum með -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Skiptu -\frac{5}{13} út fyrir y í 9x-2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Dragðu \frac{10}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$