Leysa 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+1 með y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Til að finna andstæðu ky+y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$3x-ky-y=20$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+2 með x.

$$kx+2x-10y=40$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Leggðu \left(k+1\right)y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Settu \frac{yk+y+20}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Margfaldaðu k+2 sinnum \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Leggðu \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} saman við -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Dragðu \frac{40+20k}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Deildu báðum hliðum með \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Skiptu -\frac{20}{7+k} út fyrir y í x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Margfaldaðu \frac{k+1}{3} sinnum -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+1 með y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Til að finna andstæðu ky+y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$3x-ky-y=20$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+2 með x.

$$kx+2x-10y=40$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+1 með y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Til að finna andstæðu ky+y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$3x-ky-y=20$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+2 með x.

$$kx+2x-10y=40$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Til að gera 3x og \left(k+2\right)x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með k+2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Einfaldaðu.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Dragðu \left(3k+6\right)x-30y=120 frá \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Leggðu 3\left(2+k\right)x saman við -6x-3xk. Liðirnir 3\left(2+k\right)x og -6x-3xk núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Leggðu -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y saman við 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Leggðu 20k+40 saman við -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Deildu báðum hliðum með \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Skiptu -\frac{20}{7+k} út fyrir y í \left(k+2\right)x-10y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Margfaldaðu -10 sinnum -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Dragðu \frac{200}{7+k} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Deildu báðum hliðum með k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+1 með y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Til að finna andstæðu ky+y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$3x-ky-y=20$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+2 með x.

$$kx+2x-10y=40$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Leggðu \left(k+1\right)y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Settu \frac{yk+y+20}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Margfaldaðu k+2 sinnum \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Leggðu \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} saman við -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Dragðu \frac{40+20k}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Deildu báðum hliðum með \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Skiptu -\frac{20}{7+k} út fyrir y í x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Margfaldaðu \frac{k+1}{3} sinnum -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+1 með y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Til að finna andstæðu ky+y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$3x-ky-y=20$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+2 með x.

$$kx+2x-10y=40$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+1 með y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Til að finna andstæðu ky+y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$3x-ky-y=20$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda k+2 með x.

$$kx+2x-10y=40$$

Sameinaðu alla liði sem innihalda x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Til að gera 3x og \left(k+2\right)x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með k+2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Einfaldaðu.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Dragðu \left(3k+6\right)x-30y=120 frá \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Leggðu 3\left(2+k\right)x saman við -6x-3xk. Liðirnir 3\left(2+k\right)x og -6x-3xk núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Leggðu -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y saman við 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Leggðu 20k+40 saman við -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Deildu báðum hliðum með \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Skiptu -\frac{20}{7+k} út fyrir y í \left(k+2\right)x-10y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Margfaldaðu -10 sinnum -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Dragðu \frac{200}{7+k} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Deildu báðum hliðum með k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$