Leysa 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 3x^{2}+ax+bx+84. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er mínus eru a og b bæði mínus. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -32.

$$a=-18 b=-14$$

Endurskrifa 3x^{2}-32x+84 sem \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Taktu 3x út fyrir sviga í fyrsta hópi og -14 í öðrum hópi.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-6 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Leystu x-6=0 og 3x-14=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, -32 inn fyrir b og 84 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Hefðu -32 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Leggðu 1024 saman við -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Gagnstæð tala tölunnar -32 er 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{32±4}{6} þegar ± er plús. Leggðu 32 saman við 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Deildu 36 með 6.

$$x=6$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{32±4}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 4 frá 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Minnka brotið \frac{28}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Dragðu 84 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Ef 84 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Deildu -84 með 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Deildu -\frac{32}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{16}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{16}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{16}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Leggðu -28 saman við \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Stuðull x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$