Leysa 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6.616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0.050380733$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, -20 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Hefðu -20 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Leggðu 400 saman við -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Gagnstæð tala tölunnar -20 er 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} þegar ± er plús. Leggðu 20 saman við 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Deildu 20+2\sqrt{97} með 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{97} frá 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Deildu 20-2\sqrt{97} með 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Deildu -\frac{20}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{10}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{10}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{10}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{100}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Stuðull x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$