Leysa 3x^2-14x+9=0

$$3 x ^ { 2 } - 14 x + 9 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{22} + 7}{3} \approx 3.896805253$$

$$x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}\approx 0.769861413$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}-14x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, -14 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Hefðu -14 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\times 9}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-108}}{2\times 3}$$

Leggðu 196 saman við -108.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{88}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 88.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{22}}{2\times 3}$$

Gagnstæð tala tölunnar -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{22}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{14±2\sqrt{22}}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{14±2\sqrt{22}}{6} þegar ± er plús. Leggðu 14 saman við 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+14}{6}$$

Deildu 14+2\sqrt{22} með 6.

$$x=\frac{\sqrt{22}+7}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{14±2\sqrt{22}}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{22} frá 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{22}}{6}$$

Deildu 14-2\sqrt{22} með 6.

$$x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{22}+7}{3} x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-14x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x^{2}-14x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}-14x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}-14x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Deildu -9 með 3.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-3$$

Deildu -\frac{14}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-3+\frac{49}{9}$$

Leggðu -3 saman við \frac{49}{9}.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{22}{9}$$

Stuðull x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{22}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{22}}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{22}}{3}$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{22}+7}{3} x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}$$