Leysa 3x^2+3x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0.5+1.658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0.5-1.658312395i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, 3 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Hefðu 3 í annað veldi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

Leggðu 9 saman við -108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót -99.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} þegar ± er plús. Leggðu -3 saman við 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

Deildu -3+3i\sqrt{11} með 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 3i\sqrt{11} frá -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

Deildu -3-3i\sqrt{11} með 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x^{2}+3x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Deildu 3 með 3.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

Deildu -9 með 3.

$$x^{2}+x=-3$$

Deildu 1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Leggðu -3 saman við \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Stuðull x^{2}+x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$