Leysa 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$3x+9-6y=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-6y=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$-2x-2y=12$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-6y=-9$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=6y-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 6y-9.

$$x=2y-3$$

Settu 2y-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Leggðu -4y saman við -2y.

$$-6y+6=12$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6y=6$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=2y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$x=-2-3$$

Leggðu -3 saman við -2.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$3x+9-6y=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-6y=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$-2x-2y=12$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-5,y=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$3x+9-6y=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-6y=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$-2x-2y=12$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Til að gera 3x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Einfaldaðu.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Dragðu -6x-6y=36 frá -6x+12y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Leggðu -6x saman við 6x. Liðirnir -6x og 6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+6y=18-36$$

Leggðu 12y saman við 6y.

$$18y=18-36$$

Leggðu 18 saman við -36.

$$18y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -2x-2y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Margfaldaðu -2 sinnum -1.

$$-2x+2=12$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=10$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=-1$$