Leysa 3x+10y=102,3x+7y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 7 y = 84$$

Leystu fyrir x, y

$$x=14$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+10y=102$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-10y+102$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Settu -\frac{10y}{3}+34 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+7y=84$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+7y=84$$

Leggðu -10y saman við 7y.

$$-3y+102=84$$

Dragðu 102 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-18$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-\frac{10}{3}y+34. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{10}{3}\times 6+34$$

Margfaldaðu -\frac{10}{3} sinnum 6.

$$x=-20+34$$

Leggðu 34 saman við -20.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-10\times 3}&-\frac{10}{3\times 7-10\times 3}\\-\frac{3}{3\times 7-10\times 3}&\frac{3}{3\times 7-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&\frac{10}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\times 102+\frac{10}{9}\times 84\\\frac{1}{3}\times 102-\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=14,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Dragðu 3x+7y=84 frá 3x+10y=102 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+10y-7y=102-84$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-7y=102-84$$

Leggðu 10y saman við -7y.

$$3y=102-84$$

Leggðu 102 saman við -84.

$$3y=18$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 3x+7y=84. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+7\times 6=84$$

Margfaldaðu 7 sinnum 6.

$$3x+42=84$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=42$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=6$$