Leysa 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Leystu fyrir n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 3n^{2}+an+bn-15. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -4.

$$a=-9 b=5$$

Endurskrifa 3n^{2}-4n-15 sem \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Taktu 3n út fyrir sviga í fyrsta hópi og 5 í öðrum hópi.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn n-3 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Leystu n-3=0 og 3n+5=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, -4 inn fyrir b og -15 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Hefðu -4 í annað veldi.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Leggðu 16 saman við 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Gagnstæð tala tölunnar -4 er 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{4±14}{6} þegar ± er plús. Leggðu 4 saman við 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Deildu 18 með 6.

$$n=3$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{4±14}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 14 frá 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Minnka brotið \frac{-10}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ef -15 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Dragðu -15 frá 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Deildu 15 með 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Deildu -\frac{4}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{2}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{2}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{2}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Leggðu 5 saman við \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Stuðull n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$