Leysa 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Leystu fyrir n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Dragðu 8 frá báðum hliðum.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 3n^{2}+an+bn-8. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 10.

$$a=-2 b=12$$

Endurskrifa 3n^{2}+10n-8 sem \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Taktu n út fyrir sviga í fyrsta hópi og 4 í öðrum hópi.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3n-2 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Leystu 3n-2=0 og n+4=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3n^{2}+10n=8$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Ef 8 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, 10 inn fyrir b og -8 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Hefðu 10 í annað veldi.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Leggðu 100 saman við 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{-10±14}{6} þegar ± er plús. Leggðu -10 saman við 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Minnka brotið \frac{4}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{-10±14}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 14 frá -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Deildu -24 með 6.

$$n=-4$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Deildu \frac{10}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{5}{3}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{5}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{5}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við \frac{25}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Stuðull n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dragðu \frac{5}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$