Leysa 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Stuðull

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Lausnarskref

Til að þátta segðina skaltu leysa jöfnuna þar sem hún jafngildir 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -40 og q deilir forystustuðlinum 3. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-2$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 með x+2 til að fá 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Til að þátta niðurstöðuna skaltu leysa jöfnuna þar sem hún jafngildir 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -20 og q deilir forystustuðlinum 3. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=\frac{5}{3}$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 með 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 til að fá x^{2}+4. Til að þátta niðurstöðuna skaltu leysa jöfnuna þar sem hún jafngildir 0.

$$x^{2}+4=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, 0 fyrir b og 4 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Margliðan x^{2}+4 hefur ekki verið þáttuð þar sem hún er ekki með neinar ræðar rætur.

$$x^{2}+4$$

Endurskrifaðu þáttuðu segðina með rótunum sem fengust.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Meta

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$