Leysa 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 3x^{2}+ax+bx-60. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -31.

$$a=-36 b=5$$

Endurskrifa 3x^{2}-31x-60 sem \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Taktu 3x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 5 í öðrum hópi.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-12 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Leystu x-12=0 og 3x+5=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, -31 inn fyrir b og -60 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Hefðu -31 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Leggðu 961 saman við 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Gagnstæð tala tölunnar -31 er 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{31±41}{6} þegar ± er plús. Leggðu 31 saman við 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Deildu 72 með 6.

$$x=12$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{31±41}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 41 frá 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Minnka brotið \frac{-10}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Leggðu 60 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ef -60 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Dragðu -60 frá 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Deildu 60 með 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Deildu -\frac{31}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{31}{6}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{31}{6} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{31}{6} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Leggðu 20 saman við \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Stuðull x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Leggðu \frac{31}{6} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$