Leysa 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0.333333333+1.699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.699673171i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, -2 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Hefðu -2 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

Leggðu 4 saman við -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót -104.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Gagnstæð tala tölunnar -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} þegar ± er plús. Leggðu 2 saman við 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

Deildu 2+2i\sqrt{26} með 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 2i\sqrt{26} frá 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

Deildu 2-2i\sqrt{26} með 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}-2x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Deildu -9 með 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Deildu -\frac{2}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Leggðu -3 saman við \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Stuðull x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$