Leysa 3^14x+2y=6,3x+6y=18

$$3 ^ { 14 } x + 2 y = 6,3 x + 6 y = 18$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4782969x+2y=6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4782969x=-2y+6$$

Deildu báðum hliðum með 4782969.

$$x=\frac{1}{4782969}\left(-2y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4782969} sinnum -2y+6.

$$x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}$$

Settu -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+6y=18.

$$3\left(-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}\right)+6y=18$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}.

$$-\frac{2}{1594323}y+\frac{2}{531441}+6y=18$$

Leggðu -\frac{2y}{1594323} saman við 6y.

$$\frac{9565936}{1594323}y+\frac{2}{531441}=18$$

Dragðu \frac{2}{531441} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9565936}{1594323}y=\frac{9565936}{531441}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9565936}{1594323}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{4782969}\times 3+\frac{2}{1594323}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{4782969} sinnum 3.

$$x=\frac{-2+2}{1594323}$$

Leggðu \frac{2}{1594323} saman við -\frac{2}{1594323} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4782969\times 6-2\times 3}&-\frac{2}{4782969\times 6-2\times 3}\\-\frac{3}{4782969\times 6-2\times 3}&\frac{4782969}{4782969\times 6-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}&-\frac{1}{14348904}\\-\frac{1}{9565936}&\frac{1594323}{9565936}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}\times 6-\frac{1}{14348904}\times 18\\-\frac{1}{9565936}\times 6+\frac{1594323}{9565936}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Til að gera 4782969x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4782969.

$$3\times 4782969x+3\times 2y=3\times 6,4782969\times 3x+4782969\times 6y=4782969\times 18$$

Einfaldaðu.

$$14348907x+6y=18,14348907x+28697814y=86093442$$

Dragðu 14348907x+28697814y=86093442 frá 14348907x+6y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14348907x-14348907x+6y-28697814y=18-86093442$$

Leggðu 14348907x saman við -14348907x. Liðirnir 14348907x og -14348907x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-28697814y=18-86093442$$

Leggðu 6y saman við -28697814y.

$$-28697808y=18-86093442$$

Leggðu 18 saman við -86093442.

$$-28697808y=-86093424$$

Deildu báðum hliðum með -28697808.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 3x+6y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+6\times 3=18$$

Margfaldaðu 6 sinnum 3.

$$3x+18=18$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=3$$