Leysa 25x^2+30x+19=0

$$25 x ^ { 2 } + 30 x + 19 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{5}\approx -0.6+0.632455532i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{5}\approx -0.6-0.632455532i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$25x^{2}+30x+19=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 25 inn fyrir a, 30 inn fyrir b og 19 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 19}}{2\times 25}$$

Hefðu 30 í annað veldi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 19}}{2\times 25}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 19}}{2\times 25}$$

Margfaldaðu -100 sinnum 19.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1900}}{2\times 25}$$

Leggðu 900 saman við -1900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-1000}}{2\times 25}$$

Finndu kvaðratrót -1000.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{10}i}{2\times 25}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{10}i}{50}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-30±10\sqrt{10}i}{50} þegar ± er plús. Leggðu -30 saman við 10i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+10\sqrt{10}i}{50}$$

Deildu -30+10i\sqrt{10} með 50.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{5}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-30±10\sqrt{10}i}{50} þegar ± er mínus. Dragðu 10i\sqrt{10} frá -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-30}{50}$$

Deildu -30-10i\sqrt{10} með 50.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{5}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{5} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{5}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+19=0$$

Dragðu 19 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25x^{2}+30x+19-19=-19$$

Ef 19 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$25x^{2}+30x=-19$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{19}{25}$$

Að deila með 25 afturkallar margföldun með 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{19}{25}$$

Minnka brotið \frac{30}{25} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{19}{25}$$

Deildu \frac{6}{5}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{3}{5}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{3}{5} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{19}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{3}{5} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-19+9}{25}$$

Leggðu -\frac{19}{25} saman við \frac{9}{25} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{2}{5}$$

Stuðull x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{2}{5}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{5}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{10}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{10}i}{5}$$

Dragðu \frac{3}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{5} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{5}$$