Leysa 20x-x^2=75

$$20 x - x ^ { 2 } = 75$$

Leystu fyrir x

$$x=5$$

$$x=15$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Dragðu 75 frá báðum hliðum.

$$20x-x^{2}-75=0$$

Endurraðaðu margliðunni til að setja hana í staðlað form. Raðaðu liðunum frá hæsta til lægsta veldis.

$$-x^{2}+20x-75=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem -x^{2}+ax+bx-75. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=20 ab=-\left(-75\right)=75$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er plús eru a og b bæði plús. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 20.

$$a=15 b=5$$

Endurskrifa -x^{2}+20x-75 sem \left(-x^{2}+15x\right)+\left(5x-75\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(5x-75\right)$$

Taktu -x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 5 í öðrum hópi.

$$-x\left(x-15\right)+5\left(x-15\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-15 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-15\right)\left(-x+5\right)$$

Leystu x-15=0 og -x+5=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=15 x=5$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-x^{2}+20x=75$$

Dragðu 75 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x^{2}+20x-75=75-75$$

Ef 75 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$-x^{2}+20x-75=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -1 inn fyrir a, 20 inn fyrir b og -75 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Hefðu 20 í annað veldi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu 4 sinnum -75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2\left(-1\right)}$$

Leggðu 400 saman við -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Finndu kvaðratrót 100.

$$x=\frac{-20±10}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$x=\frac{-20±10}{-2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-20±10}{-2} þegar ± er plús. Leggðu -20 saman við 10.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Deildu -10 með -2.

$$x=5$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-20±10}{-2} þegar ± er mínus. Dragðu 10 frá -20.

$$x=-\frac{30}{-2}$$

Deildu -30 með -2.

$$x=15$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=5 x=15$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+20x=75$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{75}{-1}$$

Að deila með -1 afturkallar margföldun með -1.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{75}{-1}$$

Deildu 20 með -1.

$$x^{2}-20x=\frac{75}{-1}$$

Deildu 75 með -1.

$$x^{2}-20x=-75$$

Deildu -20, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -10. Leggðu síðan tvíveldi -10 við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-75+\left(-10\right)^{2}$$

Hefðu -10 í annað veldi.

$$x^{2}-20x+100=-75+100$$

Leggðu -75 saman við 100.

$$x^{2}-20x+100=25$$

Stuðull x^{2}-20x+100. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=25$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Einfaldaðu.

$$x-10=5 x-10=-5$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=15 x=5$$