Leysa 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 20 inn fyrir a, -28 inn fyrir b og -1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Hefðu -28 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Margfaldaðu -80 sinnum -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Leggðu 784 saman við 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Finndu kvaðratrót 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Gagnstæð tala tölunnar -28 er 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} þegar ± er plús. Leggðu 28 saman við 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Deildu 28+12\sqrt{6} með 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} þegar ± er mínus. Dragðu 12\sqrt{6} frá 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Deildu 28-12\sqrt{6} með 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ef -1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Dragðu -1 frá 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Að deila með 20 afturkallar margföldun með 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Minnka brotið \frac{-28}{20} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Deildu -\frac{7}{5}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{10}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{10} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{10} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Leggðu \frac{1}{20} saman við \frac{49}{100} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Stuðull x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Leggðu \frac{7}{10} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$