Leysa 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y+5=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x-3y=-5$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y-5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Settu \frac{3y-5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+ky-2=0.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+ky-2=0$$

Leggðu 6y saman við ky.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

Leggðu -10 saman við -2.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(k+6\right)y=12$$

Deildu báðum hliðum með 6+k.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Skiptu \frac{12}{6+k} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{12}{6+k}.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Leggðu -\frac{5}{2} saman við \frac{18}{6+k}.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

Dragðu 8x+2ky-4=0 frá 8x-12y+20=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Leggðu -12y saman við -2ky.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

Leggðu 20 saman við 4.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

Deildu báðum hliðum með -12-2k.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Skiptu \frac{12}{6+k} út fyrir y í 4x+ky-2=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

Margfaldaðu k sinnum \frac{12}{6+k}.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

Leggðu \frac{12k}{6+k} saman við -2.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

Dragðu \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$