Leysa 2x-3y+10=0quadtext{Kaka}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { Kaka } 5 x - y + 4 = 0$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y+10=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x-3y=-10$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Settu \frac{3y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Leggðu \frac{15y}{2} saman við -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Leggðu -25 saman við 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Leggðu 21 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{42}{13}$$

Skiptu \frac{42}{13} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{42}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Einfaldaðu.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Dragðu 10x-2y+8=0 frá 10x-15y+50=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Leggðu -15y saman við 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Leggðu 50 saman við -8.

$$-13y+42=0$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-13y=-42$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Skiptu \frac{42}{13} út fyrir y í 5x-y+4=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Leggðu -\frac{42}{13} saman við 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Dragðu \frac{10}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$