Leysa 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 2 inn fyrir a, -2 inn fyrir b og -1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Hefðu -2 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Leggðu 4 saman við 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} þegar ± er plús. Leggðu 2 saman við 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Deildu 2+2\sqrt{3} með 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{3} frá 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Deildu 2-2\sqrt{3} með 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ef -1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Dragðu -1 frá 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Að deila með 2 afturkallar margföldun með 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Deildu -2 með 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Deildu -1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Stuðull x^{2}-x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$