Leysa 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 2 inn fyrir a, 2 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Hefðu 2 í annað veldi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Leggðu 4 saman við -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-2±2i}{4} þegar ± er plús. Leggðu -2 saman við 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Deildu -2+2i með 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-2±2i}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 2i frá -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Deildu -2-2i með 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Að deila með 2 afturkallar margföldun með 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Deildu 2 með 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Deildu 1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Leggðu -\frac{1}{2} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Stuðull x^{2}+x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$