Leysa 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$2x-2y=14$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$3y+5x=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-2y=14$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=2y+14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 14+2y.

$$x=y+7$$

Settu y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Margfaldaðu 5 sinnum y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Leggðu 5y saman við 3y.

$$8y+35=3$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8y=-32$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4+7$$

Leggðu 7 saman við -4.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$2x-2y=14$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$3y+5x=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$2x-2y=14$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$3y+5x=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Dragðu 10x+6y=6 frá 10x-10y=70 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-6y=70-6$$

Leggðu -10y saman við -6y.

$$-16y=70-6$$

Leggðu 70 saman við -6.

$$-16y=64$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 5x+3y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -4.

$$5x-12=3$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-4$$