Leysa 2x+ky=3text{and}x+y=1

$$2 x + k y = 3 \text { and } x + y = 1$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{3-k}{k-2}$$

$$y=\frac{1}{k-2}$$

$$k\neq 2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+ky=3$$

Dragðu ky frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\left(-k\right)y+3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(\left(-k\right)y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -ky+3.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{-ky+3}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=1.

$$\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}+y=1$$

Leggðu -\frac{ky}{2} saman við y.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y+\frac{3}{2}=1$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y=-\frac{1}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{k}{2}+1.

$$y=-\frac{1}{2-k}$$

Skiptu -\frac{1}{2-k} út fyrir y í x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)\left(-\frac{1}{2-k}\right)+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{k}{2} sinnum -\frac{1}{2-k}.

$$x=\frac{k}{2\left(2-k\right)}+\frac{3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við \frac{k}{2\left(2-k\right)}.

$$x=\frac{3-k}{2-k}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3-k}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}\times 3-\frac{k}{2-k}\\\left(-\frac{1}{2-k}\right)\times 3+\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k-3}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{k-3}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+ky=3,2x+2y=2$$

Dragðu 2x+2y=2 frá 2x+ky=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+ky-2y=3-2$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$ky-2y=3-2$$

Leggðu ky saman við -2y.

$$\left(k-2\right)y=3-2$$

Leggðu 3 saman við -2.

$$\left(k-2\right)y=1$$

Deildu báðum hliðum með k-2.

$$y=\frac{1}{k-2}$$

Skiptu \frac{1}{k-2} út fyrir y í x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\frac{1}{k-2}=1$$

Dragðu \frac{1}{k-2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{k-3}{k-2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{k-3}{k-2},y=\frac{1}{k-2}$$