Leysa 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 2x^{2}+ax+bx-40. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -11.

$$a=-16 b=5$$

Endurskrifa 2x^{2}-11x-40 sem \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Taktu 2x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 5 í öðrum hópi.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-8 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Leystu x-8=0 og 2x+5=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 2 inn fyrir a, -11 inn fyrir b og -40 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Hefðu -11 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Leggðu 121 saman við 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -11 er 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{11±21}{4} þegar ± er plús. Leggðu 11 saman við 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Deildu 32 með 4.

$$x=8$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{11±21}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 21 frá 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Minnka brotið \frac{-10}{4} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Leggðu 40 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Ef -40 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Dragðu -40 frá 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Að deila með 2 afturkallar margföldun með 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Deildu 40 með 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Deildu -\frac{11}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{11}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{11}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{11}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Leggðu 20 saman við \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Stuðull x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Leggðu \frac{11}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$