Leysa 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1.122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0.544658199$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 18 inn fyrir a, -30 inn fyrir b og 11 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Hefðu -30 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Margfaldaðu -72 sinnum 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Leggðu 900 saman við -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Finndu kvaðratrót 108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Gagnstæð tala tölunnar -30 er 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} þegar ± er plús. Leggðu 30 saman við 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

Deildu 30+6\sqrt{3} með 36.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} þegar ± er mínus. Dragðu 6\sqrt{3} frá 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

Deildu 30-6\sqrt{3} með 36.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Dragðu 11 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

Ef 11 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

Að deila með 18 afturkallar margföldun með 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

Minnka brotið \frac{-30}{18} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Deildu -\frac{5}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{5}{6}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{5}{6} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{5}{6} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

Leggðu -\frac{11}{18} saman við \frac{25}{36} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Stuðull x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Leggðu \frac{5}{6} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$