Leysa 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 16x^{2}+ax+bx-9. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 10.

$$a=-8 b=18$$

Endurskrifa 16x^{2}+10x-9 sem \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Taktu 8x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 9 í öðrum hópi.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 2x-1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Leystu 2x-1=0 og 8x+9=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 16 inn fyrir a, 10 inn fyrir b og -9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Hefðu 10 í annað veldi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Margfaldaðu -64 sinnum -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Leggðu 100 saman við 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Finndu kvaðratrót 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-10±26}{32} þegar ± er plús. Leggðu -10 saman við 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Minnka brotið \frac{16}{32} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-10±26}{32} þegar ± er mínus. Dragðu 26 frá -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Minnka brotið \frac{-36}{32} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ef -9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Dragðu -9 frá 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Að deila með 16 afturkallar margföldun með 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Minnka brotið \frac{10}{16} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Deildu \frac{5}{8}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{5}{16}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{5}{16} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{5}{16} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Leggðu \frac{9}{16} saman við \frac{25}{256} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Stuðull x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Dragðu \frac{5}{16} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$