Leysa 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 15x^{2}+ax+bx+2. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er plús eru a og b bæði plús. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 11.

$$a=5 b=6$$

Endurskrifa 15x^{2}+11x+2 sem \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Taktu 5x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 2 í öðrum hópi.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3x+1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Leystu 3x+1=0 og 5x+2=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 15 inn fyrir a, 11 inn fyrir b og 2 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Hefðu 11 í annað veldi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Margfaldaðu -60 sinnum 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Leggðu 121 saman við -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Finndu kvaðratrót 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-11±1}{30} þegar ± er plús. Leggðu -11 saman við 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Minnka brotið \frac{-10}{30} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-11±1}{30} þegar ± er mínus. Dragðu 1 frá -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Minnka brotið \frac{-12}{30} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Ef 2 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Að deila með 15 afturkallar margföldun með 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Deildu \frac{11}{15}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{11}{30}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{11}{30} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{11}{30} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Leggðu -\frac{2}{15} saman við \frac{121}{900} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Stuðull x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Dragðu \frac{11}{30} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$