Leysa 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Stuðull

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Lausnarskref

Þáttaðu segðina með því að flokka. Fyrst þarf að endurskrifa segðina sem 15x^{2}+ax+bx-16. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -8.

$$a=-20 b=12$$

Endurskrifa 15x^{2}-8x-16 sem \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Taktu 5x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 4 í öðrum hópi.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3x-4 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Skref með annars stigs formúlu

Þætta má margliðu með færslunni ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), þar sem x_{1} og x_{2} eru rætur annars stigs jöfnunnar ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Hefðu -8 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Margfaldaðu -60 sinnum -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Leggðu 64 saman við 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Finndu kvaðratrót 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Gagnstæð tala tölunnar -8 er 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{8±32}{30} þegar ± er plús. Leggðu 8 saman við 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Minnka brotið \frac{40}{30} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{8±32}{30} þegar ± er mínus. Dragðu 32 frá 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Minnka brotið \frac{-24}{30} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Þættu upprunalegu segðina með ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Skiptu \frac{4}{3} út fyrir x_{1} og -\frac{4}{5} út fyrir x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Einfaldaðu allar segðir formsins p-\left(-q\right) í p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Dragðu \frac{4}{3} frá x með því að finna samnefnara og draga teljarana frá. Minnkaðu svo brotið eins mikið og hægt er.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við x með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3x-4}{3} sinnum \frac{5x+4}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Margfaldaðu 3 sinnum 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Styttu út stærsta sameiginlega þáttinn 15 í 15 og 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Meta

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$