Leysa 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 14x^{2}+ax+bx-15. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -29.

$$a=-35 b=6$$

Endurskrifa 14x^{2}-29x-15 sem \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Taktu 7x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 3 í öðrum hópi.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 2x-5 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Leystu 2x-5=0 og 7x+3=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 14 inn fyrir a, -29 inn fyrir b og -15 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Hefðu -29 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Margfaldaðu -56 sinnum -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Leggðu 841 saman við 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Finndu kvaðratrót 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Gagnstæð tala tölunnar -29 er 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{29±41}{28} þegar ± er plús. Leggðu 29 saman við 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Minnka brotið \frac{70}{28} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{29±41}{28} þegar ± er mínus. Dragðu 41 frá 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Minnka brotið \frac{-12}{28} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ef -15 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Dragðu -15 frá 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Að deila með 14 afturkallar margföldun með 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Deildu -\frac{29}{14}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{29}{28}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{29}{28} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{29}{28} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Leggðu \frac{15}{14} saman við \frac{841}{784} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Stuðull x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Leggðu \frac{29}{28} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$