Leysa 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Deildu báðum hliðum með 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 3x^{2}+ax+bx-2300. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 200.

$$a=-30 b=230$$

Endurskrifa 3x^{2}+200x-2300 sem \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Taktu 3x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 230 í öðrum hópi.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-10 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Leystu x-10=0 og 3x+230=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 120 inn fyrir a, 8000 inn fyrir b og -92000 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Hefðu 8000 í annað veldi.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Margfaldaðu -480 sinnum -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Leggðu 64000000 saman við 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Finndu kvaðratrót 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-8000±10400}{240} þegar ± er plús. Leggðu -8000 saman við 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Deildu 2400 með 240.

$$x=10$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-8000±10400}{240} þegar ± er mínus. Dragðu 10400 frá -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Minnka brotið \frac{-18400}{240} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Leggðu 92000 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Ef -92000 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Dragðu -92000 frá 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Deildu báðum hliðum með 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Að deila með 120 afturkallar margföldun með 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Minnka brotið \frac{8000}{120} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Minnka brotið \frac{92000}{120} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Deildu \frac{200}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{100}{3}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{100}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{100}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Leggðu \frac{2300}{3} saman við \frac{10000}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Stuðull x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Dragðu \frac{100}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$