Leysa 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Leystu fyrir r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 12r^{2}+ar+br-15. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -11.

$$a=-20 b=9$$

Endurskrifa 12r^{2}-11r-15 sem \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Taktu 4r út fyrir sviga í fyrsta hópi og 3 í öðrum hópi.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3r-5 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Leystu 3r-5=0 og 4r+3=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 12 inn fyrir a, -11 inn fyrir b og -15 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Hefðu -11 í annað veldi.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Margfaldaðu -48 sinnum -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Leggðu 121 saman við 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Finndu kvaðratrót 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Gagnstæð tala tölunnar -11 er 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Leystu nú jöfnuna r=\frac{11±29}{24} þegar ± er plús. Leggðu 11 saman við 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Minnka brotið \frac{40}{24} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Leystu nú jöfnuna r=\frac{11±29}{24} þegar ± er mínus. Dragðu 29 frá 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Minnka brotið \frac{-18}{24} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ef -15 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Dragðu -15 frá 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Að deila með 12 afturkallar margföldun með 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Minnka brotið \frac{15}{12} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Deildu -\frac{11}{12}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{11}{24}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{11}{24} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{11}{24} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við \frac{121}{576} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Stuðull r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Einfaldaðu.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Leggðu \frac{11}{24} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$