Leysa 12x^2-21x+1=0

$$12 { x }^{ 2 } -21x+1=0$$

Leystu fyrir x

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}\approx 1.701009483$$

$$x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}\approx 0.048990517$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$12x^{2}-21x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 12 inn fyrir a, -21 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Hefðu -21 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 12}}{2\times 12}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 12.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-48}}{2\times 12}$$

Leggðu 441 saman við -48.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{393}}{2\times 12}$$

Gagnstæð tala tölunnar -21 er 21.

$$x=\frac{21±\sqrt{393}}{2\times 12}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 12.

$$x=\frac{21±\sqrt{393}}{24}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{21±\sqrt{393}}{24} þegar ± er plús. Leggðu 21 saman við \sqrt{393}.

$$x=\frac{\sqrt{393}+21}{24}$$

Deildu 21+\sqrt{393} með 24.

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{21±\sqrt{393}}{24} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{393} frá 21.

$$x=\frac{21-\sqrt{393}}{24}$$

Deildu 21-\sqrt{393} með 24.

$$x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8} x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-21x+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12x^{2}-21x+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$12x^{2}-21x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$\frac{12x^{2}-21x}{12}=-\frac{1}{12}$$

Að deila með 12 afturkallar margföldun með 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{12}\right)x=-\frac{1}{12}$$

Minnka brotið \frac{-21}{12} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 3.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{1}{12}$$

Deildu -\frac{7}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{8}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{12}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{1}{12}+\frac{49}{64}$$

Leggðu -\frac{1}{12} saman við \frac{49}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{131}{192}$$

Stuðull x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{131}{192}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{131}{192}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{393}}{24} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{393}}{24}$$

Leggðu \frac{7}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8} x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$