Leysa 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 11 inn fyrir a, -10 inn fyrir b og 13 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Hefðu -10 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Margfaldaðu -44 sinnum 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Leggðu 100 saman við -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Finndu kvaðratrót -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Gagnstæð tala tölunnar -10 er 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} þegar ± er plús. Leggðu 10 saman við 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Deildu 10+2i\sqrt{118} með 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} þegar ± er mínus. Dragðu 2i\sqrt{118} frá 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Deildu 10-2i\sqrt{118} með 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Dragðu 13 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Ef 13 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Að deila með 11 afturkallar margföldun með 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Deildu -\frac{10}{11}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{5}{11}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{5}{11} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{5}{11} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Leggðu -\frac{13}{11} saman við \frac{25}{121} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Stuðull x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Leggðu \frac{5}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$